- 试题详情及答案解析
- 如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
:
,设
是椭圆上的任一点，从原点
向圆
：
作两条切线，分别交椭圆于点
，
.
（1）若直线
，
互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线，的斜率存在，并记为
，
，求证：
；
（3）试问
是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．- 答案：（1）
；（2）；（3）定值为36． - 试题分析：（1）因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以
；再结合点在椭圆上，得到关于
的方程组进行求解；（2）设出
的直线方程，利用直线与圆相切，得到
与的关系；再根据
在椭圆上，得出关系，整理即可；（3）分别联立两直线与椭圆的方程，得出
的关系，借助进行证明.
试题解析：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径
，
因为直线，互相垂直，且和圆相切，
所以，即
，①
又点在椭圆上，所以
，②
联立①②，解得
所以所求圆的方程为．
（2）因为直线：
，：
，与圆
相切，
所以
,化简得
同理
，
所以
是方程
的两个不相等的实数根，
因为点在椭圆C上，所以
，即
，
所以
，即．
（3）是定值，定值为36，
理由如下：
法一：（i）当直线
不落在坐标轴上时,设
,
联立
解得
所以
，同理，得
，
由
，
所以
（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有
，
综上：．
法二：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,
因为，所以
,即
，
因为在椭圆C上，所以
，
即
，
所以
，整理得
，
所以
，
所以．
（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，
综上：．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线与椭圆的位置关系；3.定值问题．