- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）设函数
有两个极值点
,且
．
（1）求实数
的取值范围；
（2）讨论函数
的单调性；
（3）若对任意的
,都有
成立,求实数
的取值范围．- 答案：（1）
；（2）
在区间
，
上单调递增，在区间
上单调递减；（3）实数的取值范围为
． - 试题分析：（1）求实数的取值范围，先确定函数的定义域为
，然后求导数
，令
，由题意知是方程
的两个均大于
的不相等的实根，建立不等关系解之即可；（2）讨论函数的单调性，在函数的定义域内解不等式
和
，求出单调区间；（3）若对任意的,都有成立,求实数的取值范围，
是方程的根，将用表示，消去得到关于的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求的取值范围．
试题解析：（1）由
可得
．
令,则其对称轴为
,故由题意可知
是方程的两个均大于
的不相等的实数根,其充要条件为
,
解得． 4分
（2）由（1）可知
,其中
,故
①当
时,,即在区间上单调递增；
②当
时,,即在区间上单调递减；
③当
时,,即在区间上单调递增． 8分
（3）由（2）可知在区间
上的最小值为
．
又由于
,因此
．又由
可得
,从而
．
设
,其中
,
则
．
由知:
,
,故
,故
在
上单调递增．
所以,
．
所以,实数的取值范围为． 13分
考点：函数极值，函数单调性，恒成立问题．