- 试题详情及答案解析
- （本小题13分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本
（万元）与处理量
（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．
（Ⅰ）当
时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？- 答案：（1）国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损；（2）当处理量为
吨时，每吨的平均处理成本最少． - 试题分析：（1）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；（2）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论．
试题解析：（Ⅰ）当时，设该工厂获利为
，则
，所以当时，
，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损； 5分
（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
6分
（1）当
时，
，所以
，因为，所以当
时，
，
为减函数；当
时，
，为增函数，所以当
时，取得极小值
． 9分
（2）当
时，
，当且仅当
，即
时，取最小值
， 12分
因为
，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少． 13分
考点：应用题，基本不等式．