- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）设函数
.
（1）若函数
在
处有极值，求函数的最大值；
（2）①是否存在实数
，使得关于
的不等式
在
上恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由；
②证明：不等式
.- 答案：（1）最大值为
；（2）①存在，的取值范围是
；②祥见解析．- 试题分析：（1）由已知得：
，且函数f（x）在x=0处有极值，得a=1，从而求出函数的表达式，找出单调区间求出最值；
（2）由已知得：
再对b分情况讨论：①若b≥1，②若b≤0，③若0＜b＜1综合得出b的取值范围是x∈[1，+∞）；
（3）由前两问综合得出．
试题解析：（1）由已知得：，且函数
在处有极值
∴
，即
∴
∴
,
当
时，
，单调递增；
当
时，
，单调递减；
∴函数的最大值为
（2）①由已知得：
（i）若
，则
时，
∴
在
上为减函数，
∴
在
上恒成立；
（ii）若
，则时，
∴在上为增函数，
∴
，不能使
在上恒成立；----6分
（iii）若
，则
时，
，
当
时，
，∴在
上为增函数，
此时，
∴不能使在上恒成立；
综上所述，的取值范围是
②由以上得：
,取
得：
令
，
则
，
.
因此
；即：
.
又
故
综上所述：不等式成立
考点：1. 利用导数研究函数的单调性；2. 利用导数求闭区间上函数的最值．