- 试题详情及答案解析
- （本题满分10分）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为
、圆心角是
的扇形
剪去一半径
的同心圆扇形
所围成的（不计接缝）（如图1）．
（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留
）；
（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？
（3）如图3，若在一张半径为的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面（不允许有拼接），最多能裁出多少个？- 答案：（1）底面半径为
，侧面积为
；
（2）需要长为，宽为
的矩形纸片；
（3）9个 - 试题分析：（1）要求底面半径，需先求底面周长，而底面周长为图（1）中的
弧长，相关数据代入弧长公式即可.而侧面积即为图（1）中的扇环，将大扇形面积减去小扇形面积即得；（2）联结
，可证得即为长方形的长，而所在的
为正三角形，故易求.再过
作
，交
于
，交
于
，根据垂径定理可证得
即为长方形的宽，求出
长，再求
即得长；（3）本小题容易想到的是直接在圆环上能裁出6个，此时中间还有一个以为半径的小圆，考虑到圆环的半径为
，正好为小圆半径的一半，故可先在小圆中构造一个边长为的正六边形，再取三条互不相邻的边的中点，故在此正六边形中裁出3个扇环，故总共9个.
试题解析：（1）
，
底面周长为
底面半径为
侧面积为扇环
的面积，故
答：纸杯的底面半径为，侧面积为.
（2）连接，过作，交于，交于 
，
是等边三角形 
又
也是等边三角形 
即为长方形的长
， 
由垂径定理知，即为长方形的宽 所需长方形的两边长分别为和.
（3）扇形的圆心角为 在以为圆心，为半径的大圆和以为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环（即小纸杯的侧面）
剩下的一个半径的圆中可按照如下方法剪圆环.作六边形
，显然边长为，将
、
、
两边延长，分别相交于点
、
、
，则以、、为圆心为半径画弧，三条弧相切于、、的中点，显然又可剪3个
最多可剪出9个纸杯的侧面（如图所示）
考点：1.扇形（扇环）的面积计算；2.弧、弦的长度计算；3.图形的综合处理能力.