- 试题详情及答案解析
- 一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距（
+1）R处有一点光源O，OA与球相切，则球在桌面上的投影——椭圆的离心率为 ．- 答案：
- 试题分析：根据圆曲线的第一定义，作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，可得直角三角形AOA′，结合已知求出椭圆的a值，再根据椭圆的几何性质，求出c，即可求出椭圆的离心率．
解：如图是过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，
ED两点为过点O引圆D的两条切线与圆D的切点，
∵OA=（
+1）R，
故在Rt△OBE中，
OE=R，BE=R，
则tan∠EOB=
，
即∠EOB=30°，
故∠EOB=60°，即∠AOA′=60°，
故AA′=2a=OA=（3+）R，即a=
，
根据圆锥曲线的定义，
可得球与长轴AA′的切点是椭圆的焦点F，
根据椭圆的几何性质，AF是焦点到长轴顶点的距离AF=a﹣c=R，
∴c=
=a，
所求椭圆的离心率e=
=，
故答案为：
点评：本题以空间的圆锥为载体，考查了圆锥曲线的形成过程，同时考查了椭圆的基本量，属于中档题．深刻理解空间位置关系和椭圆的定义与性质，是解决本题的关键．