- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面PCB；
（3）设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．- 答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）
- 试题分析：（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
所以OE∥PA．
因为PA
平面PAC，OE⊄平面PAC，
所以OE∥平面PAC．
因为OM∥AC，
又AC平面PAC，OM⊄平面PAC，
所以OM∥平面PAC．
因为OE平面MOE，OM平面MOE，OE∩OM＝O，
所以平面MOE∥平面PAC． 4分
（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC．
因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
所以PA⊥BC．
因为AC平面PAC，PA平面PAC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC．
因为BC平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC． 9分
（3）如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz．
因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，
所以CB＝2cos30°＝
，AC＝1．
延长MO交CB于点D．
因为OM∥AC，
所以MD⊥CB，MD＝1＋
＝
，CD＝CB＝
．
所以P（1,0,2），C（0,0,0），B（0，，0），M（，，0）．
所以
＝（1,0,2），
＝（0，，0）．
设平面PCB的法向量
＝（x，y，z）．
因为
即
令z＝1，则x＝－2，y＝0．
所以＝（－2,0,1）．
同理可求平面PMB的一个法向量
＝（1，，1）．
所以cos〈，〉＝
＝－．所以cosθ＝． 12分
考点：本题考查面面平行的判定，面面垂直的判定，二面角的求法
点评：解决本题的关键是熟练掌握面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求二面角的方法