- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）已知函数
．
（1）求函数
的单调区间；
（2）若函数
上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若
，使
成立，求实数a的取值范围．- 答案：（1）单调减区间是
,增区间是
；（2）
；（3）
- 试题分析：解：由已知函数
的定义域均为
,且
． 1分
（1）函数
,
当
且
时,
;当
时,
．
所以函数
的单调减区间是,增区间是． 4分
（2）因f（x）在
上为减函数，故
在上恒成立．
所以当
时，
．
又
，
故当
，即
时，
．
所以
于是
，故a的最小值为． 7分
（3）命题“若
使
成立”等价于
“当
时，有
”．
由（2），当时，，
．
问题等价于：“当时，有
”． 9分
当
时，由（2），
在
上为减函数，
则
=
，故． 
当
时，由于
在上为增函数，
故的值域为
，即
．
（i）若
，即
，
在恒成立，故在上为增函数，
于是，=
，不合题意． 11分
（ii）若
，即
，由的单调性和值域知，
唯一
，使
，且满足：
当
时，
，为减函数；当
时，
，为增函数；
所以，=
，．
所以，
，与矛盾，不合题意．
综上，得． 14分
考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值问题
点评：此题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值问题，以及转化的数学思想