- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知平面上的动点
及两定点
、
，直线
、
的斜率分别为
、
，且
，设动点
的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）过点
的直线与曲线交于两点M、N，过点
作
轴，交曲线于点
.求证：直线
过定点，并求出定点坐标.- 答案：（1）由题知
，且
，
，则
.
整理得曲线的方程为
5分
（2）设直线与轴交于
，
则直线的方程为
，记
，
，由对称性知
，
由
，消去得
， 7分
所以
，且
，
， 9分
由
三点共线知，
，即
，所以
，
整理得
， 10分
所以，
，即
，解得
，
所以直线过定点
12分- 试题分析（1）由题知x≠±2，且
，
，由直接法求出曲线C的方程．
（2）设NQ与x轴交于D（t，0），则直线NQ的方程为x=my+t（m≠0），记N（x1，y1），Q（x2，y2），由对称性知M（x2，﹣y2），由
，得（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，由此利用根的判别式，韦达定理、三点共线，结合已知条件能证明直线NQ过定点D（1，0）．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明．