- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）已知椭圆C：
（a>b>0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P（
，
），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在
轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．- 答案：（1）
；（2）存在两个定点（1,0）,（-1,0）,使其到直线l 的距离之积为定值1 - 试题分析：解：（1）因为椭圆过点P（，），所以
,解得
,
又以AP为直径的圆恰好过右焦点
．所以A^P,即-
=-1, 
=c（4-3c）． 6分
而
,所以
-2c+1=0,解得=1,
故椭圆C的方程是． 4分
（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以
，
即 
7分
设在x轴上存在两点（s,0）,（t,0）,使其到直线l的距离之积为1,则
,
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或
（**）．
由（*）恒成立,得
，解得
,或
,
而（**）不恒成立． 10分
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±
时，
定点
（－1，0）、 （1，0）到直线l的距离之积
．
综上,存在两个定点（1,0）,（-1,0）,使其到直线l 的距离之积为定值1 12分
考点：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
点评：解决本题的关键是由以AP为直径的圆恰好过右焦点 ．得出A^P，建立a,b,c的关系，直线与椭圆的位置关系，利用设而不求的思想，解决此题，注意考虑直线的斜率不存在的情况