- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知椭圆C:
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）若直线L：
与椭圆C相交于A、B两点，且
，求证：
的面积为定值- 答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析- 试题分析：（1）设椭圆的方程，由离心率为
找出
关系再利用椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求出b的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式
：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
试题解析：（Ⅰ）由题意得，
，
，又
，
联立解得
，
椭圆的方程为.
（Ⅱ）设
，
则A,B的坐标满足
消去y化简得，
，
，
得
=
。
，
，即
即
=
。O到直线
的距离
=
=
=
为定值.
考点：（1）求椭圆的方程,（2）直线与椭圆的综合问题.