- 试题详情及答案解析
- 设函数
.
（1）若函数
在
处有极值，求函数的最大值；
（2）是否存在实数
，使得关于
的不等式
在
上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）记
，证明：不等式
．- 答案：（1）0，（2）
（3）证明见解析 - 试题分析：（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数
在区间
内使
的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（2）有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.（3）不等式具有放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好切入点.
试题解析：（1）由已知得：
，
且函数
在
处有极值
∴
，
即
∴
∴
当
时，
，单调递增；
当
时，
，单调递减；
∴函数的最大值为
（2）由已知得：
1.若
，则
时，
∴
在
上为减函数，
∴
在
上恒成立；
2.若
，则时，
∴在上为增函数，
∴
，不能使
在上恒成立；
3.若
，则
时，
，
当
时，
，∴在
上为增函数，
此时，
∴不能使在上恒成立；
综上所述，
的取值范围是
（3） 由（1）、（2）得：
取
得：
令
，
则
，
.
因此
.
又
，
故
因此.
又，
故
考点：（1）导数与最值（2）求参数取值范围（3）证明不等式.