- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知
（
为常数），曲线
在点
处的切线与直线
垂直.
（Ⅰ）求的值及函数
的单调区间；
（Ⅱ）证明：当
时，
；
（Ⅲ）设
，若
在
上单调递减，求实数
的取值范围.- 答案：（Ⅰ）
；的单调递增区间为
，单调递减区间为
；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
. - 试题分析: （Ⅰ）由题知曲线在点处的切线的斜率为-1，求出在x=0处导数，即可列出关于方程，即可解出值，代入导函数中，再利用导数与函数单调性关系即可求出函数的单调区间；
（Ⅱ）构造函数
，求出
，根据（Ⅰ）知道
的单调性，再利用函数性质即可证明所需证明的不等式；
（Ⅲ）先求出
，由在上单调递减得，≤0对1≤
≤3恒成立，转化为二次函数在某个区间上恒成立问题，利用二次函数图像与性质及数形结合思想，列出关于m的不等式，即可求出实数m的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线的斜率为-1.
由，得
，
，得
所以
，
令
，得
当
时，
，单调递减；
当
时，
，单调递增；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅱ）令，则
由（Ⅰ）知，的极小值即最小值
，
，
故在
上单调递增，因此，当时，
，即；
（Ⅲ）法一：
由题意知，
，因为在上单调递减
在恒成立， 10分
图像过点
，
. 13分
所以满足实数的取值范围为. 14分
法二：
由题意知，，因为在上单调递减
在恒成立， 10分
在恒成立，
令
只需
11分
在上为减函数，
所以满足实数的取值范围为. 14分
考点：曲线的切线；导数与函数单调性的关系；导数的综合应用