- 试题详情及答案解析
- 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F.
（1）求证：CE=CF；
（2）求线段EF的最小值；
（3）当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积的大小是 ．- 答案：（2）
（3）
- 试题分析：（1）如图1，设AC交于点DE交于点G，DF交BC于H点，根据点的对称可得EG=DG，且ED⊥AC，再根据DF⊥DE以及AB为半圆直径可证得四边形DGCH为矩形，因此可得CH=DG=EG，CH∥ED，再根据ASA证得△EGC≌△CHF，进而得证；
（2）如图2，连接CD，则CD=CE，由（1）知EF=2CD，因此可判断当线段EF最小时，线段CD也最小，根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小，根据直径对的圆周角是直角可知∠ACB=90°，再由AB=8，∠CBA=30°，可求得AC=4，BC=
，而当CD⊥AD时，CD=
BC=2
，再根据EF=2CD=;
（3）当点D从点A运动到点B时，如图3，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，结合（2）可知S△ABC=AC.BC=
，因此可求阴影部分的面积.
试题解析：
解：（1）证明：如图1，设AC交于点DE交于点G，DF交BC于H点，
∵点E与点D关于AC对称
∴EG=DG，且ED⊥AC，
∵DF⊥DE，
∴∠EGC=∠DGC=∠EDF=90°，
∵AB为半圆直径，
∴∠ACB=90°.
∴四边形DGCH为矩形.
∴CH=DG=EG，CH∥ED.
∴ÐE=ÐFCH，ÐEGC=ÐCHF.
∴△EGC≌△CHF.
∴EC=FC；
解：如图2，连接CD，则CD=CE.
由（1）知，EF=2CD，
∴当线段EF最小时，线段CD也最小，
根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小
∵AB是半圆O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴AC=4，BC=，
当CD⊥AD时，CD=
BC=
，
此时EF=2CD=，
即EF的最小值为；
解：当点D从点A运动到点B时，如图3，
EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，
由（2）知，AC=4，BC=，
∴
∴线段EF扫过的面积是.
考点：圆周角的性质，等腰三角形，三角形全等，垂线段的性质