- 试题详情及答案解析
- 如图，二次函数
的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙ M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．- 答案：（1）
；（2）E（1，4），4；（3）（
，
），（
， 
），（3，-4）． - 试题分析：（1）把A、B的坐标代入即可得到答案；
（2）设 E（a，b），先表示出四边形ABEC的面积S，再配方即可；
（3）分两种情况讨论， 
，或
．
试题解析：（1）∵ 二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），
∴ 
，解得：
，∴ 二次函数的解析式为；
（2）如图1．
∵二次函数的解析式为与y轴相交于点C，∴ C（0，2），设 E（a，b），且a >0，b >0，∵ A（-1，0），B（2，0），∴ OA=1，OB=2，OC=2，则S四边形ABEC= 
= 
，∵ 点 E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴
，∴
，∴ 当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，4），且四边形ABEC的最大面积为4；
（3）如图2．
设M（m，n），且m>0，∵ 点M在二次函数的图象上，∴ 
，∵ ⊙M与y轴相切，切点为D，∴ ∠MDC =90°，∵ 以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴ ，或，
①当n >2时，
，解得 m1=0（舍去），m2= ， 或m3=0（舍去），m4=-1（舍去）；
②同理可得，当n<2时，m1=0（舍去） ，m2=，或m3=0（舍去），m4=3；
综上，满足条件的点M的坐标为（，），（， ），（3，-4）．
考点：二次函数综合题．