- 试题详情及答案解析
- 已知矩阵M=
的两个特征值分别为λ1=﹣1和λ2=4．
（1）求实数a，b的值；
（2）求直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程．- 答案：（1）
；（2）5x﹣7y+12=0．- 试题分析：（1）先写出矩阵A的特征多项式，再结合由于λ1=﹣1和λ2=4是此函数的零点即可求得a，b．
（2）先直线x﹣2y﹣3=0上任一点（x，y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），根据矩阵变换得出它们之间的关系，从而求直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
解：（1）矩阵A的特征多项式为：f（λ）=
，
即f（λ）=λ2﹣（b+2）λ+2b﹣2a，
由于λ1=﹣1和λ2=4是此函数的零点，
∴
⇒
（2）由上知，M=
，
设直线x﹣2y﹣3=0上任一点（x，y）
在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），
由
=
得到：
，
代入x﹣2y﹣3=0化简得到5x′﹣7y′+12=0．
直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程5x﹣7y+12=0．
点评：本题考查矩阵的特征多项式和特征值之间的关系，考查矩阵的变换的运用，属于基础题．