- 试题详情及答案解析
- （2013•盐城一模）B．（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵M
的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．- 答案：矩阵M的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为α=
．- 试题分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=﹣1．最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．
解：矩阵M的特征多项式为
f（λ）=
=（λ﹣1）（λ﹣x）﹣4．
∵λ1=3方程f（λ）=0的一根，
∴（3﹣1）（3﹣x）﹣4=0，可得x=1，M=
．
∴方程f（λ）=0即（λ﹣1）（λ﹣1）﹣4=0，λ2﹣2λ﹣3=0
可得另一个特征值为：λ2=﹣1，
设λ2=﹣1对应的一个特征向量为α=
，
则由λ2α=Mα，得
得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，
所以矩阵M的另一个特征值为﹣1，对应的一个特征向量为α=．
点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的特征向量，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．