- 试题详情及答案解析
- （2009•连云港二模）已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量
=
，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量
的坐标之间的关系．
（3）求直线l：x﹣y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．- 答案：（1）M=
．（2）2x+y=0．（3）x﹣y+2=0． - 试题分析：（1）设出要求的矩阵，根据矩阵的特征向量和特征值，和把一个点变成另一个点的坐标，得到关系式，即得到关于字母的方程组，解方程组得到结果．
（2）根据第一问得到矩阵M的特征多项式，求出对应的特征值，设出矩阵的另一个特征向量，根据两者的关系写出结果．
（3）设出点（x，y）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），根据变换前后写出关系式，整理出要求的直线的方程．
解：（1）设M=
，则
=8=
，
故
=
，
故
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，
故其另一个特征值为λ=2．
设矩阵M的另一个特征向量是e2=
，
则M e2=
，
解得2x+y=0．
（3）设点（x，y）是直线l上的任一点，
其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
则
=
，
即
，
代入直线l的方程后并化简得x′﹣y′+2=0，
即x﹣y+2=0．
点评：本题考查矩阵的特征向量和特征值的应用，本题是一个基础题，题目的运算量较小，并且考查最基本的矩阵问题，若出现是一个送分题目．