- 试题详情及答案解析
- 已知矩阵A=
（k≠0）的一个特征向量为
=
，矩阵A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．
（1）求实数a，k的值；
（2）求直线x+2y+1=0在矩阵A的对应变换下得到的图形方程．- 答案：（1）a=2，k=1．（2）x+3y+2=0．
- 试题分析：（1）利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．
（2）利用矩阵变换，确定坐标之间的关系，即可得到在A对应的变换作用下的新曲线的方程．
解：设特征向量为
=，对应的特征值为λ，则
=λ
，即
因为k≠0，所以a=2．
因为A﹣1
=
，所以A=，所以2+k=3，解得k=1．
综上，a=2，k=1．
（2）设直线x+2y+1=0上任一点P（x，y）在A对应的变换作用下对应点P'（x'，y'），
∴
=
，
∴
，
代入x+2y+1=0，化简可得x′+3y′+2=0，
∴得到的图形方程为x+3y+2=0．
点评：本题考查矩阵的乘法，矩阵变换，以及特征值与特征向量的计算，确定坐标之间的关系是关键．