已知=是矩阵M=属于特征值λ1=2的一个特征向量．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）若，求M10a． Wap版

试题详情及答案解析: 已知=是矩阵M=属于特征值λ₁=2的一个特征向量．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若，求M¹⁰a．; 答案：（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M¹⁰=．; 试题分析：（Ⅰ）依题意，M=，从而，由此能求出矩阵M．
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩阵M的另一个特征值为λ₂=1，设=是矩阵M属于特征值λ₂=1的特征向量，由已知得=，由此能求出M¹⁰．
（Ⅱ）（方法二）M²=MM=，，M⁵=M³M²，M¹⁰=M⁵M⁵，由此能求出M¹⁰．
解：（Ⅰ）依题意，M=，
，
∴，
解得a=1，b=2．
∴矩阵M=．
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），
∴矩阵M的另一个特征值为λ₂=1，
设=是矩阵M属于特征值λ₂=1的特征向量，
则，
∴，取x=1，得=，
∴，
∴M¹⁰==．
（Ⅱ）（方法二）M²=MM=，
，
M⁵=M³M²==，
M¹⁰=M⁵M⁵==，
∴M¹⁰=．
点评：本题考查矩阵与变换、特殊性征向量及其特征值的综合应用等基本知识，考查运算求解能力．

[同步]2014年新人教A版选修4-2 4.2特征向量的应用练习卷（带解析）