- 试题详情及答案解析
- 若兔子和狐狸的生态模型为
（n≥1），对初始群
，讨论第n年种群数量αn及当n越来越大时，种群数量αn的变化趋势．- 答案：当n越来越大时，（0.5）n趋向于0，αn趋向于
，即兔子和狐狸的数量趋于稳定在90和30．- 试题分析：欲讨论第n年种群数量αn及当n越来越大时，种群数量αn的变化趋势，根据兔子和狐狸的生态模型可知，只须求出αn=Mnα0，关键是求出Mn，故先求出矩阵M的特征向量，再利用特征向量进行计算即可．
解：
，
，αn=Mαn﹣1=M（Mαn﹣2）=M2αn﹣2═Mnα0
M的特征值λ1=1，对应的特征向量
对应的特征向量
，
=30α1+10α2，αn=Mnα0=30λ1nα1+10λ2nα2
=
，
当n越来越大时，（0.5）n趋向于0，
αn趋向于，即兔子和狐狸的数量趋于稳定在90和30．
点评：本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算及应用等基础知识，属于基础题．