- 试题详情及答案解析
- （本题满分15分）已知椭圆
经过点
，其离心率为
，设直线
与椭圆
相交于
两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线
与圆
相切，求证：
（
为坐标原点）；
（Ⅲ）以线段
为邻边作平行四边形
，若点
在椭圆上，且满足
（为坐标原点），求实数
的取值范围．- 答案：（Ⅰ）椭圆方程为
；
（Ⅱ）因为直线
与圆
相切，所以
，即
由
，得
．
设点
、
的坐标分别为
、
，
则
，
，
所以
=
=
，
所以
=
=
=0，故
；
（Ⅲ）
且
． - 试题分析：（Ⅰ）由已知离心率为，可得等式
；又因为椭圆方程过点
可求得
，
，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由直线与圆
相切，可得
与
的等式关系即
，然后联立直线与椭圆的方程并由韦达定理可得，，进而求出
，所以由向量的数量积的定义可得
的值为0，即结论得证；
（Ⅲ）由题意可分两种情况讨论：（ⅰ）当
时，点、关于原点对称；（ⅱ）当
时，点、不关于原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数
的取值范围即可.
试题解析：（Ⅰ）
，
，将点代入，得，
所求椭圆方程为．
（Ⅱ）因为直线与圆
相切，所以
，即
由，得
．
设点、的坐标分别为、，
则，，
所以==，
所以
===0，故，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得
，
由向量加法平行四边形法则得
，
，
（ⅰ）当时，点、关于原点对称，则
此时不构成平行四边形，不合题意．
（ⅱ）当时，点、不关于原点对称，则，
由
，得
即
点
在椭圆上，有
，
化简，得
．
，有
． ①
又
，
由
，得
． ②
将①、②两式，得
，
，则且．
综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况，得实数的取值范围是且．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题.