- 试题详情及答案解析
- 设函数
，其中
（1）若
，求
在
上的最值；
（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数
的取值范围；
（3）当
时，令
，试证：
恒成立.- 答案：（1）参考解析，（2）
（3）参考解析- 试题分析：（1）当
时，对函数求导，在定义域内根据导函数的正负性可得到函数的单调性，即可求得函数的最值.
（2）由函数在定义域内既有极大值又有极小值，即导函数的值为零时的根在
上有两个不等的实数解.再根据区间根的运算即可得到结论.
（3）当时，对
求导即可得到， 即
，所以当
恒成立，由题意要证，其中的变量为正数，所以当
时，函数是单调递增的.再通过令
.
，以及
即可得到结论.
试题解析：（1）由题意知，的定义域为，时，由
得
2分
当
时，
，
，单调递减，当
时，单调递增.
所以
又因为
所以
所以
，
（2）依题意，
在上有两个不等实根，即
在上有两个不等实根， 6分
设
，则
，解得 8分
（3）=
，
显然，当
时，
所以
在
上单调递增，
所以，当时，
恒成立. 10分
令
，则有
12分
考点：1.利用导数求函数的最值.2.函数的极值.3.函数与不等式的关系.4.构建函数的数学思想.