- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
的图像在点
处的切线的倾斜角为45°，那么实数
在什么范围取值时，函数
在区间（2，3）内总存在极值？
（3）求证：
．- 答案：（1）当
时，的单调递增区间为
，减区间为
；当
时，的单调递增区间为，减区间为；（2）当
时，函数
在区间（2，3）内总存在极值；（3）令
，此时
，
，由（1）知在
上单调递增，所以当时，
，即
，所以对一切都成立.因为
，所以
，于是
，所以
. - 试题分析：（1）在求单调区间时首先要求出函数的定义域，然后对参数
进行分类讨论即可得出答案；（2）点处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即
，可求值，代入得的解析式，由
，且在区间
上总不是单调函数可知：
，
，
，于是可求的取值范围．（3）令，此时，结合（1）可判断对一切成立，进而可得
，即可证得结论．
试题解析：（1）因为，所以
.
当时，的单调递增区间为，减区间为；当时，的单调递增区间为，减区间为.
（2）因为函数
的图像在点处的切线的倾斜角为45°，所以，于是
，
，所以
，所以
.要使函数在区间（2，3）内总存在极值，所以只需，，解得，所以当时，函数在区间（2，3）内总存在极值.
（3）令，此时，，由（1）知在上单调递增，所以当时，，即，所以对一切都成立.因为，所以，于是，所以
.
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．