- 试题详情及答案解析
- （12分）已知椭圆E的两个焦点分别为
和
，离心率
.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线
与椭圆E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值.- 答案：（1）
，（2）
- 试题分析：（1）由题意可知椭圆中已知
，以及
，即可求得
，即可求出椭圆的标准方程.
（2）依题意可得联立直线
与椭圆E的方程消去y，即可得到一个关于x的方程，由
，可得m的取值范围.再结合韦达定理写出AB中点的坐标，再写出线段AB的垂直平分线，并写出点T的坐标.由弦长公式以及点到直线的距离公式即可得到三角形的面积公式，再根据二次函数最值的求法，即可求出结论.
试题解析：（1）根据题意得
解得
2分
所求椭圆方程为 4分
（2）解：设
连立方程组
化简得：
6分
有两个不同的交点
即
且
由根与系数的关系得
设A、B中点为C，C点横坐标
线段AB垂直平分线方程为
T点坐标为
T到AB的距离
8分
由弦长公式得
10分
当
即
时等号成立
12分
考点：1.椭圆的标准方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.最值问题.