- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）如图，
中，
是
的中点，
，
．将
沿
折起，使
点与图中
点重合．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）当三棱锥
的体积取最大时，求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段
上是否存在一点
，使
与平面
所成的角的正弦值为
？证明你的结论．- 答案：（Ⅰ）
点，
即
，
又∵
；
（Ⅱ）
；（Ⅲ）存在，且为线段
的中点
证明如下:设
，
又平面
的法向量
，依题意得
解得
舍去）. - 试题分析：（Ⅰ）欲证
，需证明
垂直平面
内两条直线，
在三角形ABC中，因为，是的中点，所以
；
又因为在折叠的过程中，
保持不变，即，
，
所以结论成立；
（Ⅱ）在平面
内，作
于点
，则由（1）及已知可得当与
重合时，三棱锥
的体积最大，并过点作
于点
，连
，则
为
在
中，易得
的值，即为所求；
（Ⅲ）根据图形及已知条件分析可得，存在线段上中点，使与平面所成的角的正弦值为，求出平面的法向量，根据与平面所成的角的正弦值为建立等式关系，即可求得结论.
试题解析：（Ⅰ）点，
即，
又∵；
（Ⅱ）在平面内，作于点，则由（Ⅰ）可知
又
，
，即
是三棱锥的高，
又
，所以当与重合时，三棱锥的体积最大，
过点作于点，连，由（Ⅰ）知
，
为
，
（Ⅲ）存在，且为线段的中点
证明如下：设，
又平面的法向量，依题意得
解得舍去）.
考点：线面垂直；二面角的求法；空间向量在立体几何中的应用.