- 试题详情及答案解析
- 如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的菱形，
E、F分别是PB、CD的中点，且
.
（1）求证：
；
（2）求证：
;
（3）求二面角
的余弦值.- 答案：（1）参考解析，（2）参考解析，（3）
- 试题分析：（1）由所给的条件想通过线面垂直的判定定理比较困难，通过做辅助线，由于底面是一个含60度内角的菱形，通过等边三角形的三线合一的知识，转化为先证线面垂直从而得到线线垂直，即可得到结论.
（2）要证只需在平面PAD内找到一条平行于EF的线即可，根据题意只需取PA的中点即可.
（3）欲求二面角的余弦值，本小题通过构造出二面角的平面角，再根据解三角形的知识求得相应的边长，求得结论.
试题解析：（1）证明 取
的中点
连结
,
为正三角形，
又
,
平面,同理可证 
又
平面
4分.
（2）取
的中点
，连结
且
又
且
，
四边形
是平行四边形，
而
平面
平面
平面
8分
（3）取
的中点
过
作
于点
连结
则
又
平面
是二面角的平面角.
在
中，
又
∽
,
.
在
中，可求得
，
故二面角的余弦值为 12分.
（注：若（2）、（3）用向量法解题，证线面平行时应说明平面内，否则扣1分；求二面角的余弦值时，若得负值，亦扣1分.）
考点：1.线面垂直.2.线面平行.3.二面角的概念.