- 试题详情及答案解析
- （本题满分15分）已知等差数列
中，
，公差
；数列
中，
为其前n项和，满足：
（Ⅰ）记
，求数列
的前
项和
；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
（Ⅲ）设数列
满足
，
为数列的前项积，若数列
满足
，且
，求数列的最大值.- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）由
，得
，所以当
时，
=
，又当
，符合上式，所以
，故数列
是等比数列.
（Ⅲ）
的最大值为
.- 试题分析：（Ⅰ）首先由数列
的通项公式，可得数列的通项公式，然后运用裂项相消法即可求得其
前项和；（Ⅱ）由已知及公式
可得，当时，
的通项公式；然
后验证当
时，是否满足上述通项公式，进而求出的通项公式即可证明结论成立；
（Ⅲ）根据作差法判断数列的单调性，进而判断数列的最大值即可.
试题解析：（Ⅰ）因为
，
所以
，
所以
=
.
（Ⅱ）由，得，
所以当时，=，
又当，符合上式，所以，
故数列是等比数列.
（Ⅲ）因为
，所以
，
当时，
=
，
又符合上式，所以
，
因为
，所以当
时，单调递减，
当
时，单调递增，但当时，每一项均小于0，
所以的最大值为.
考点：等差数列；等比数列；数列的前项和；数列的单调性.