- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知四棱柱
，侧棱
底面
，底面中，
，侧棱
.
（1）若E是
上一点，试确定E点位置使
平面
；
（2）在（1）的条件下，求平面BED与平面ABD所成角的余弦值。- 答案：（1）E点坐标为(0，0，3)即E为
且靠近
的四等分点时，EB∥平面
;（2）
. - 试题分析：（1）当E为四等分点时，即
时，EB∥平面．建立空间直角坐标系，确定E点坐标，即可得出结论；
（2）求出平面BED法向量、平面ABCD法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED与平面ABD所成角的余弦值．
试题解析：解：(1)当E为AA1四等分点时，即
时，EB∥平面.
证明：以AB为x轴，以AD为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，1，0)，
，
设E(0，0，z)，则
＝(－2，0，z)，
＝(－2，－1，4)，＝(－2，3， 0)．
∵EB∥平面，不妨设
，∴(－2，0，z)＝x(－2，－1，4)＋y(－2，3，0)．
∴
解得z＝3.
所以当E点坐标为(0，0，3)即E为且靠近的四等分点时，EB∥平面.(6分)
(2)∵
平面ABCD，
∴可设平面ABCD法向量为
＝(0，0，1)．
设平面BED法向量为
＝(x，y，1)，根据＝(－2，0，3)，
＝(－2，4，0)，
∴
解得
．
∴
.
由题意可得，平面BED与平面ABD所成角的余弦值为.
考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面平行的判定．