- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知函数
，
，
是常数．
（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；
（2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数
的取值范围；
（3）证明：
，存在
，使
．- 答案：（1）
;（2）
;（3）详见解析. - 试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）讨论a=0，a＞0，a＜0，运用对数函数的性质，以及分离参数，构造函数应用导数求极值、最值，即可得到a的范围；（3）设函数
，计算g（1），g（e），讨论当
或
时，由零点存在定理，即可得证；当
时，求出g（x）的最小值，判断它小于0，再由零点存在定理，即可得证．
试题解析：解：（1）
， 
函数的图象在点
处的切线为
，即
（2）①
时，
，因为，所以点
在第一象限，依题意，
②
时，由对数函数性质知，
时，
，
，从而“
，”不成立
③
时，由得
，设
，
，从而
，
综上所述，常数的取值范围
（3）直接计算知
设函数
，
当
或
时，
，
因为
的图象是一条连续不断的曲线，所以存在，使
，即，使
；
当
时，
、
，而且、
之中至少一个为正，由均值不等式知，
，等号当且仅当
时成立，所以
有最小值
，且
，
此时存在（
或
），使。
综上所述，，存在，使.
考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用．
