- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
，若在区间
内有且仅有一个
，使得
成立，则称函数
具有性质
．
（Ⅰ）若
，判断是否具有性质，说明理由；
（Ⅱ）若函数
具有性质，试求实数
的取值范围．- 答案：（Ⅰ）具有性质; （Ⅱ）
或
或
- 试题分析：（Ⅰ）
具有性质．若存在
，使得
，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数
具有性质，即方程
在
上有且只有一个实根．设
，即在上有且只有一个零点．讨论的取值范围，结合零点存在定理，即可得到的范围．
试题解析：（Ⅰ）具有性质．
依题意，若存在
，使，则时有
，即
，
，
．由于，所以
．又因为区间内有且仅有一个，使成立，所以具有性质 5分
（Ⅱ）依题意，若函数具有性质，即方程在上有且只有一个实根．
设
，即在上有且只有一个零点．
解法一：
（1）当
时，即
时，可得
在上为增函数，
只需
解得
交集得．
（2）当
时，即
时，若使函数在上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：
（ⅰ）时，
在上有且只有一个零点，符合题意．
（ⅱ）当
即
时，需
解得
交集得
．
（ⅲ）当
时，即
时，需
解得
交集得
．
（3）当
时，即
时，可得在上为减函数
只需
解得
交集得．
综上所述，若函数
具有性质，实数的取值范围是或或 14分
解法二：
依题意，
（1）由
得，
，解得
或．
同时需要考虑以下三种情况：
（2）由
解得．
（3）由
解得
不等式组无解．
（4）由
解得
解得
．
综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或
或 14分．
考点：1．零点存在定理；2．分类讨论的思想．