- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）如图, 四棱柱
的底面ABCD是正方形,
为底面中心,
平面
,
．
（1）证明：
；
（2）证明: 平面
平面
（3）求三棱柱
的体积．- 答案：（1）详见解析;（2）详见解析；（3）
． - 试题分析：（1）由题意BD⊥AC ，因为A1O⊥平面ABCD可知A1O⊥BD ，可证BD⊥面A1AC即可证明结论；（2）由于A1B1∥AB ，AB∥CD，可得A1B1∥CD，又A1B1=CD，可得四边形A1B1CD是平行四边形
所以A1D∥B1C， 同理可证A1B∥CD1，利用面面平行判定定理即可证明结结论； （3） 由于A1O⊥面ABCD 故A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高．又在RT△A1OA中，AA1=2，AO =" 1" ，可得A1O=,
根据柱体体积公式即可求出三棱柱ABD-A1B1D1的体积．
试题解析：（1）证明：∵底面ABCD是正方形 ∴BD⊥AC
又∵A1O⊥平面ABCD BDÌ面ABCD ∴A1O⊥BD
又∵A1O∩AC="O" A1OÌ面A1AC，ACÌ面A1AC
∴BD⊥面A1AC AA1Ì面A1AC
∴AA1⊥BD 4分
（2）∵A1B1∥AB AB∥CD ∴A1B1∥CD 又A1B1=CD ∴四边形A1B1CD是平行四边形
∴A1D∥B1C 同理A1B∥CD1
∵A1BÌ平面A1BD, A1D Ì平面A1BD, CD1Ì平面CD1B1, B1CÌ平面CD1B
且A1B∩ A1D=A1 CD1∩B1C=C
∴平面A1BD // 平面CD1B1 8分
（3） ∵A1O⊥面ABCD ∴A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高．
在正方形AB CD中,AO =" 1" ．在RT△A1OA中，AA1=2，AO = 1 ∴A1O=
∴
所以, 三棱柱ABD-A1B1D1的体积为． 12分．
考点：1．线面垂直的判定；2．面面平行的判定；3．柱体的体积公式．