- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知函数
，
．
（Ⅰ）若
，对于任意的
，求证：
；
（Ⅱ）若函数
在其定义域内不是单调函数，求实数
的取值范围．- 答案：（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）
- 试题分析：（Ⅰ） 当
时，
，对函数进行求导，求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值，又由于，
，即可得到结论；（Ⅱ）由
，设
．令
，即
，设函数
．求出
的解为
．然后再利用导数 求出函数的单调区间和函数的极值，即可求出结果．
试题解析：解：(Ⅰ) 当时，，
．
令
，解得
．
当
时，
，所以函数在
是减函数；
当
时，
，所以函数在
为增函数．
所以函数在处取得最小值，
．
因为，，所以对任意，都有
．
即对任意，
． 6分
（Ⅱ）函数的定义域为
．
又,设．
令，即，设函数．
令，则．
当
时，
，所以
在
上是减函数；
当
时，
，所以在
上是增函数；
所以
．则
时，
．
于是，当
时，直线
与函数的图象有公共点，
即函数至少有一个零点，也就是方程
至少有一个实数根．
当
时，有且只有一个零点，
所以
恒成立，函数为单调增函数，不合题意，舍去．
即当
时，函数不是单调增函数．
又因为不恒成立，
所以为所求． 13分．
考点： 1．利用导数研究函数的单调性．2．导数在证明不等式中的应用．