- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）对于项数为
的有穷数列
，记
，即
为
中的最大值，则称
是的“控制数列”，各项中不同数值的个数称为的“控制阶数”．
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列的控制数列
为
，写出所有的；
（Ⅱ）若
，
，其中
，是的控制数列，试用
表示
的值；
（Ⅲ）在
的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和．- 答案：（Ⅰ）
; （Ⅱ）
；（Ⅲ）154．- 试题分析：（Ⅰ）若各项均为正整数的数列
的控制数列为1，3，3，5，可得；（Ⅱ）确定当
时，总有
时，总有
．分类比较
和
的大小，即可得出结论．（Ⅲ）分别求出为1、2、3、4的数列的个数，即可得出结论．
试题解析：（Ⅰ）
; 
; ．3分
（Ⅱ）因为，
所以
．
所以当时，总有
．
又
，
．
所以
．
故
时，总有．
从而只需比较和的大小．
（1）当
，即
，即
时，
是递增数列，此时对一切
均成立．
所以
．
（2）当
时，即
，即
时，
，
，
．
所以
．
综上，原式
9分
（Ⅲ）
．
首项为1的数列有
个；
首项为2的数列有
个；
首项为3的数列有
个；
首项为4的数列有
个；
所以，控制阶数为2的所有数列首项之和
． 13分．
考点：1．新定义；2．等差数列与等比数列．