- 试题详情及答案解析
- 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α=45°，AB=
，AF=3，求FC和FG的长．- 答案：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，（2）1，
. - 试题分析：（1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；
（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．
试题解析：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，
∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D
又∠B=∠A=∠DME=α
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM，
（2）连接FG，
由（1）知，△AMF∽△BGM，
，
BG=
∠α=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵M是线段AB中点，
∴AB=4
，AM=BM=2，
AC=BC=4，CF=AC-AF=1，
CG=4-=
，
∴由勾股定理得FG=
考点：相似三角形的判定．