- 试题详情及答案解析
- 如图，
中
，在
边上取点
画圆使⊙经过
、
两点，下列结论中：①
；②
；③以为圆心，以
为半径的圆与
相切；④延长
交⊙与
，则、、是⊙的三等分点．正确的是 ．
- 答案：①③④．
- 试题分析：连接OB，可得∠ABO=30°，则∠OBC=30°，根据直角三角形的性质得OC=
OB=OA，再根据三角函数cos∠OBC=
，则BC=
OB，因为点O在∠ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长，根据垂径定理得直线AC是弦BD的垂直平分线，则点A、B、D将⊙O的三等分．
试题解析：连接OB，
∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=OA，
即OA=2OC，
故①正确；
∵cos∠OBC=，
∴BC=OB，
即BC=OA，
故②错误；
∵∠ABO=∠OBC=30°，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
∴点O到直线AB的距离等于OC的长，
即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；
故③正确；
延长BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴
，
∴点A、B、D将⊙O的三等分．
故④正确．
故答案为①③④．
考点：切线的判定；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理．