- 试题详情及答案解析
- (本题满分8分)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为1,∠CBD=30°,则图中阴影部分的面积;
(3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E若BC=12,tan∠CDA=,求BE的长.- 答案:(1)见解析 (2)- (3)5
- 试题分析:(1)连接OD、OE,根据∠ADO+∠DBA=90°以及∠∠CDA=∠CBD得出∠ODC=90°;(2)阴影部分的面积等于△OCD的面积减去扇形ODA的面积进行计算;(3)将∠CDA转化成∠OEB,然后利用勾股定理进行求解.
试题解析:(1)证明:连OD,OE,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠BDO=90°,
又∵∠CDA=∠CBD,而∠CBD=∠BDO,∴∠BDO=∠CDA,∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°,
∴CD是⊙O的切线;
、∵OD=1,∠CBD=30° ∴∠DOC=60° ∴∠C=30° ∴OC=2,CD=
∴△OCD的面积= 扇形ODA的面积= ∴阴影部分的面积=-;
(3)∵EB为⊙O的切线,∴ED=EB,OE⊥DB,∴∠ABD+∠DBE=90°,
∠OEB+∠DBE=90°,∴∠ABD=∠OEB,∴∠CDA=∠OEB.而tan∠CDA=,
∴tan∠OEB==,∵Rt△CDO∽Rt△CBE,∴,∴CD=×12=8,
在Rt△CBE中,设BE=x,∴(x+8)²=x²+12²,解得x=5.即BE的长为5.
考点:切线的判定、扇形的面积计算、锐角三角函数的求值