- 试题详情及答案解析
- （本题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）- 答案：见解析
- 试题分析：（1）连结OD,根据∠A=2∠1结合其它条件可证明OD⊥DC，可得AC是⊙O的切线；（2）根据∠A=60°，可得∠C=30°，∠DOC=60°，而OD=2，所以CD=
OD=2 ,阴影部分的面积=Rt△DOC的面积-扇形DOE的面积，代入数值计算即可．
试题解析：（1）证明：连结OD,∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，∴∠DOC=∠A,∵∠A+∠C=90°，∴∠DOC+∠C=90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=60°，∴∠C=30°，∠DOC=60°，在Rt△DOC中，OD=2，∴CD= OD=2 ,所以阴影部分的面积=Rt△DOC的面积-扇形DOE的面积=
×2×2 -
=2-
．
考点：1．切线的的判定；2．解直角三角形；3．扇形的面积计算．