- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．
（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ ∽△ABC，求t的值；
（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；
②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
- 答案：（1）
；（2）①AE=3；②存在，
- 试题分析：（1）∵△APQ∽△ABC ∴
， 即 
解得 3分
（2）①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
过点Q作QO∥AD交AC于点O，
则
∴
，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得
． 6分
②（ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t
∴CP＝AP＝
AC＝×5＝2.5∴t＝2.5 9分
（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
过点P作PG⊥CB于点G，由△PGC∽△ABC，
得
，BG＝4－
=
由勾股定理得
，即
，解得． 12分
考点: 矩形的综合运用