- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）设函数
．
（1）若函数
在
上为减函数，求实数
的最小值；
（2）若存在
，使
成立，求实数的取值范围．- 答案：（1）
；（2）
.- 试题分析：（1）若函数
在上为减函数，则
对任意的
恒成立，又即
对任意的恒成立；（2）“若存在
使
成立”等价于
“当
时，有
，分别求出相应的最值后分
<
两种情况进行分类讨论，当时，可得
=
，故
．当<时不存在；当然本题也可用分离参数.
试题解析：（1）由已知得x＞0，x≠1．
因f （x）在
上为减函数，故在上恒成立． 1分
所以当时，．
又
， 2分
故当
，即
时，
．
所以
于是
，故a的最小值为． 4分
（2）命题“若存在使成立”等价于
“当时，有”． 5分
由（Ⅰ），当时，，
．
问题等价于：“当时，有
”． 6分
①当时，由（1），
在
上为减函数，
则=，故． 8分
②当<时，由于
在
上的值域为
（ⅰ）
，即
，
在恒成立，故在上为增函数，
于是，
，矛盾． 10分
（ⅱ）
，即
，由
的单调性和值域知，
存在唯一
，使
，且满足：
当
时，
，为减函数；当
时，
，为增函数；
所以，
， 12分
所以，
，与矛盾． 13分
综上，得 14分
考点：函数与导数的综合应用