- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）当二面角B—PC—D的大小为
时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．- 答案：（1）见解析；（2）
. - 试题分析：（1）要证明线线垂直，一般通过证明线面垂直得到，本题采用传统和向量法两种方法解决；传统法：由已知易得PA⊥BD，AC⊥BD，故BD⊥平面APC，从而BD⊥FG，向量法建系后只需证明
0即可；（2）作BH⊥PC于H，易得∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即
从而
向量法可设A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）D（0，1，0）P（0，0，a）求得平面PBC的一个法向量为
，平面PDC的一个法向量
，由
得
，
试题解析：方法一：（1）PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∵PA交AC与点A ∴BD⊥平面APC 2分
∵FG
平面PAC，∴BD⊥FG 4分
（2）作BH⊥PC于H，连接DH，∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH=BH，∴∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即 7分
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 8分
连结EH，则
，
而
，
10分
11分
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 12分
方法二：（1）以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）
D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,
1分
∵
，
2分
∴BD⊥FG 4分
（2）设平面PBC的一个法向量为
则
，而
，取
，得， 8分
同理可得平面PDC的一个法向量
，设
所成的角为
，
则
即
10分
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是
12分
考点：立体几何