- 试题详情及答案解析
- （本小题10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，M, N分别为PA, BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．- 答案：（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ ）
． - 试题分析：（Ⅰ）证明MN∥平面PCD，关键要在平面PCD内找到一条直线与MN平行的直线，可以通过中点找中点，构造平行四边形找到与MN平行的直线；（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值，首先要作出MN与平面PAC所成角的平面角，因为PA⊥平面ABCD，所以作NF⊥AC于F，连接MF，则∠FMN是MN与平面PAC所成的角的平面角，然后在Rt△MFN中解出
．
试题解析：（1）取PD的中点E，连接ME, CE．
∵M, N分别为PA, BC的中点，
∴
，
，∴
，
∴MNCE是平行四边形，∴MN∥CE， 3分
∵CEÍ平面PCD，MNË平面PCD，
∴MN∥平面PCD． 5分
（2）作NF⊥AC于F，连接MF．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，
∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角． 7分
在Rt△MFN中，
，
，
，∴
，
∴
． 10分
考点： 1、线面平行的判定定理和性质定理；2、线面角的求法．