- 试题详情及答案解析
- （9分）（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为
，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．- 答案：（1）y=
x﹣5 （2）点M的坐标为（
，0）或（
，0） （3）四边形DEPF面积的最小值为
- 试题分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．
（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．
（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=
DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣
．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．
解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴
=
=
．
∵点P是AC中点，
∴CP=
CA．
∴HP=OA，CH=CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=
，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴点P的坐标为（，2）．
设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（
，2）在直线DP上，
∴
∴
∴直线DP的解析式为y=x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴
=
．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴
=
．
∴OM=
．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴
=
．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴
=
．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．
（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=
AC=
．
∵DE、DF都与⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S△PED=S△PFD．
∴S四边形DEPF=2S△PED
=2×
PE•DE
=PE•DE
=DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE2=DP2﹣PE2．
=DP2﹣
．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴
=
．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，
∴
=
．
∴DP=
．
∴DE2=DP2﹣
=（）2﹣
=
．
∴DE=
，
∴S四边形DEPF=
DE
=．
∴四边形DEPF面积的最小值为．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．