- 试题详情及答案解析
- （2012•九江一模）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣x3]=2，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（ ）
| A．（0，1） | B．（1，2） | C．（2，3） | D．（3，4） |
- 答案：D
- 试题分析：由题意，可知f（x）﹣x3是定值令t=f（x）﹣x3，得出f（x）=x3+t，再由f（t）=t3+t=2求出t的值即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间选出正确选项
解：由题意，可知f（x）﹣x3是定值，不妨令t=f（x）﹣x3，则f（x）=x3+t
又f（t）=t3+t=2，整理得（t﹣1）（t2+t+2）=0，解得t=1
所以有f（x）=x3+1
所以f（x）﹣f′（x）=x3+1﹣3x2=2，令F（x）=x3﹣3x2﹣1
可得F（3）=﹣1＜0，F（4）=8＞0，即F（x）=x3﹣3x2﹣1零点在区间（3，4）内
所以f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（3，4）
故选D
点评：本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）﹣x3是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度