- 试题详情及答案解析
- （2012•赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f′（x）=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|的取值范围是（ ）
- 答案：A
- 试题分析：先求出f′（x）=3ax2+2bx+c，可得
=
=
+
+
，由f′0）•f′（1）＞0，
解得﹣2＜
＜﹣1，利用二次函数的性质求出
的范围，即可求得|x1﹣x2|的取值范围．
解：由题意得：f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，
∴x1+x2=﹣
，x1•x2=
．∴|x1﹣x2|2 =
﹣4x1x2 ，
∴=﹣4x1•x2 =
．
∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，
∴
=
=
+
+
．
∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=﹣（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3 
+2＜0，解得﹣2＜＜﹣1．
由二次函数的性质可得，当=﹣
时，
有最小值为 
，
当
趋于﹣1时， 趋于 
，故 ∈
，
故|x1﹣x2|∈
，
故选A．
点评：本题考查根与系数的关系的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．
