- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）.已知函数
，
（a为实数）．
（Ⅰ）当a=5时，求函数
在
处的切线方程；
（Ⅱ）求
在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；
（Ⅲ）若存在两不等实根
，使方程
成立，求实数a的取值范围．- 答案：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）当
时，
；当
时，
；
（Ⅲ）
.- 试题分析：（Ⅰ）当
时
，
.求出导数，进而求出切线的斜率，由点斜式即可得切线的方程；（Ⅱ）求导得
，易得在
单调递减，在
单调递增.接下来结合图象对
分情况讨论.显然当时，在区间
上
为增函数；当时，由于必有
，所以在区间
上为减函数，在区间
上为增函数；（Ⅲ）首先分离参数可得：
.下面利用导数研究函数
在
上的图象及性质，结合图象即可求得
的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）当时，． 1分
，故切线的斜率为
． 2分
所以切线方程为:
，即． 4分
（Ⅱ）， 
单调递减 极小值（最小值） 单调递增
①当时，在区间上为增函数，
所以 7分
②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，
所以 8分
（Ⅲ）由
，可得：
， 9分，
令， 
．
单调递减 极小值（最小值） 单调递增 
，
，
.
．
结合图象可知实数
的取值范围为． 14分
考点：导数与不等式