- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
，
，
平面
，
为
的中点，
.
（1）求证：
∥平面
；
（2）求四面体
的体积.- 答案：（1）详见解析；（2）
. - 试题分析：（1）证明直线与平面平行，一般采用以下两种方法：法一，通过面面平行来证明线面平行；法二，根据直线与平面平行的判定定理，证明直线与平面内的一条直线平行即可.在本题中，取AD中点M，易证得平面
平面，从而得
平面；若用法二，可延长DC，AB，交于N点，连接PN.可证得EC为
的中位线，从而EC//PN；（2）首先考虑以哪一个面作为底面.由已知条件易得
平面
，故应以PAC作为底面，E作为顶点.因为E是PD的中点，所以点E到平面PAC的距离等于点C到平面PAC的距离的一半.而
，这样由三棱锥的体积公式便可求得体积.
试题解析：（1）法一： 取AD得中点M，连接EM，CM.则EM//PA
因为
平面，
平面
所以，
平面， （2分）
在
中，
所以，
而
，所以，MC//AB． （3分）
因为
平面，
平面
所以，
平面 （4分）
又因为
所以，平面
平面
因为
平面
，所以
平面 （6分）
法二： 延长DC，AB，交于N点，连接PN.
因为
所以，C为ND的中点． （3分）
因为E为PD的中点，所以，EC//PN
因为
平面，
平面，
所以平面 （6分）
2）法一：由已知条件有；AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=
（7分）
因为， 平面，所以，
（8分）
又因为
，所以，平面 （10分）
因为E是PD的中点，所以点E平面PAC的距离
，
所以，四面体PACE的体积
（12分）
法二：由已知条件有；AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=
因为，平面，所以，
（10分）
因为E是PD的中点，所以，四面体PACE的体积
（12分）
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、三棱锥的体积.