- 试题详情及答案解析
- 已知各项均为整数的数列
满足
，
，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数
，使得
．- 答案：（1）
；（2）
或
.- 试题分析：（1）首先根据条件前
项成等差数列可以将
，
用公差
的代数式表示，再由条件从第
项起依次成等比数列可以得到关于公差的方程：
，从而解得
或
（舍去），即可得数列
的通项公式为；（2）考虑到（1）中求得数列的分段性，因此首先可验证
或时符合题意，
或
时不合题意，接下来只需说明当
，条件给出的方程无解即可：
，
若，则
，∴
，而这是不可能成立的，从而得证.
试题解析：（1）设数列前项的公差为
，则
，
(为整数)
又∵
，
，
成等比数列，∴，即
，得或（舍去）， 4 分
当
时，
， 6 分 ∴
，
，数列从第项起构成的等比数列的公比为
，
∴当
时，
，故， 8分
（2）由（1）知，当
时等式成立，即
，
当
时等式成立，即
， 10分 当
或
时等式不成立， 12分
当
时，
，
若，则，∴， 14分
，
，从而方程无解，∴
.
故所求或． 16分
考点：1.等差等比数列的通项公式与性质；2.数列与方程不等式相结合.