- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为
和
，且||=2，点（1，
）在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线
与椭圆C相交于A，B两点，若
AB的面积为
，求以为圆心且与直线相切圆的方程．- 答案：（1）
；（2）
. - 试题分析：（1）因为||=2，所以
.又点（1，）在该椭圆上，所以根据椭圆的定义可求出
的值，从而求出
.（2）首先应考虑直线⊥x轴的情况，此时A（-1，-），B（-1，），AB的面积为3，不符合题意．当直线与x轴不垂直时，
.设直线的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：
，用弦长公式可得|AB|=
，用点到直线的距离公式可得 圆的半径r=
，这样根据题中所给面积可求出
的值，从而求出半径，进而得到圆的方程为．
试题解析：（1）因为||=2，所以.
又点（1，）在该椭圆上，所以
．
所以
.
所以椭圆C的方程为 ．．（4分）
（2）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面积为3，不符合题意．
（6分）
②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：
，
显然＞0成立，设A
，B
，则
，
，
可得|AB|= ．．（9分）
又圆的半径r=，
∴AB的面积=
|AB| r=
=，
化简得：17
+
-18=0，得k=±1，
∴r =
，圆的方程为 ．．（13分）
考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系.