- 试题详情及答案解析
- （1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 证明：DE=BD+CE．
如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
- 答案：（1）详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）△DEF是等边三角形.
- 试题分析：（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）与（1）的证明方法一样；
（3）与前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
试题解析：（1）证明： ∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠BDA＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE；
（2）解：成立，证明如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，
∴∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠BDA＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE．
△DEF为等边三角形，理由如下：
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴BF=AF=AB=AC=CF，
∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△BAD和△ACE中，
∠BDA＝∠AEC，∠DBA＝∠CAE，BA＝AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．
∵∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE．
在△BDF和△AEF中，
FB＝FA，∠DBF＝∠FAE，BD＝AE，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
考点：1、全等三角形的判定和性质；2、等边三角形的判定.